Krychle a kvádr

Zobrazujeme kvádr a krychli − Stěnová a tělesová uhlopříčka kvádru a krychle − Síť kvádru a krychle
Počítáme povrch krychle − Počítáme povrch kvádru − Počítáme objem kvádru − Počítáme objem krychle

Zobrazujeme kvádr a krychli

Když chceme zobrazit kvádr nebo krychli na papír aby vypadala jako ve skutečnosti, budeme dodržovat následující postup. Naším úkolem bude narýsovat kvádr ABCDEFGH:

  1. Narýsujeme obdélník, představující přední stěnu kvádru. Rozměry jsou skutečné.
  2. Vrcholy obdélníku vedeme polopřímky vzájemně rovnoběžné, svírající s vodorovným směrem uhel 45°.
  3. Na těchto polopřímkách vyneseme další čtyři hrany. Tyto hrany vynášíme s poloviční velikostí.
  4. Po propojení vzniklých bodů jsme získaly zbývající hrany. Všechny vrcholy označíme.

Všechny hrany hrany, které nejsou viditelné, rýsujeme přerušovanou čarou. Postup, jakým bychom zobrazovali krychli je úplně stejný.

Stěnová a tělesová uhlopříčka kvádru a krychle

Do našeho kvádru nyní zakreslíme stěnové a tělesové uhlopříčky:

  • Stěnová uhlopříčka je úsečka, která spojuje dva protilehlé vrcholy, které leží v téže stěně. V obrázku jsou zakresleny zelenou barvou úsečky BD a BG. Stěnových uhlopříček v kvádru nebo krychli je celkem 12. Najdi zbývající!
  • Tělesová uhlopříčka je úsečka, která spojuje dva vrcholy, které neleží v téže stěně. V obrázku je zakreslena modrou barvou úsečka BH. Tělesové uhlopříčky v kvádru nebo krychli jsou celkem 4. Najdi zbývající!

Všechny hrany uhlopříčky, které nejsou viditelné, rýsujeme přerušovanou čarou.

Síť kvádru a krychle

Zopakujte si z 5. ročníku, jak vypadá síť kvádru. Překresli si obrázek a označ správně hrany písmeny a, b, c:

Síť krychle vám připomene výrobek z praktických činností. Výrobek Hrací kostka jsme společně nakreslili a vyrobili minulý rok. V síti kostky jsou navíc plochy na nanesení lepidla a "tečky", které samozřejmě v matematice nekreslíme!

Počítáme povrch krychle

Dříve než začneme počítat povrch krychle, zopakujeme si, jak se počítá obsah čtverce (zopakuj si také jednotky obsahu!). Ten se vypočítá tak, že se vzájemně vynásobí strany čtverce. Pokud tyto strany označíme písmenkem a, platí pro obsah čtverce vzoreček

S = a · a

Pokud spočítáme počet stěn v krychli, dojdeme k číslu 6. Stěna krychle má tvar čtverce. Při výpočtu povrchu krychle proto musíme vzoreček pro obsah čtverce použít celkem 6×. Podívejte se na animovaný obrázek:

Vzoreček pro výpočet povrchu krychle tedy je:

S = 6 · a · a

Příklad

Délka hrany krychle je 5 cm. Vypočítejte povrch krychle.

Řešení:
S = 6 · a · a
S = 6 · 5 · 5
S = 150 cm2

Počítáme povrch kvádru

Stejně jako u krychle, dříve než začneme počítat povrch kvádru, zopakujeme si, jak se počítá obsah obdélníku. Ten se vypočítá tak, že se vzájemně vynásobí strany obdélníku. Pokud tyto strany označíme písmenky a a b, platí pro obsah obdélníku vzoreček

S = a · b

Pokud spočítáme počet stěn v kvádru, dojdeme k číslu 6. Stěny kvádru mají tvar obdélníku, vždy dvě stěny jsou stejné. Nyní můžeme odvodit vzorec pro výpočet povrchu kvádru. Podívejte se na animovaný obrázek, hrany kvádru jsou označeny písmeny a, b, c:

Vzoreček pro výpočet povrchu krychle tedy je:

S = 2 · ( a · b + b · c + c · a )

Příklad

Vypočítejte povrch kvádru, a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm.

Řešení:
S = 2 · ( a · b + b · c + c · a )
S = 2 · ( 6 · 4 + 4 · 3 + 3 · 6 )
S = 2 · ( 24 + 12 + 18 )
S = 108 cm2

Počítáme objem kvádru

U všech těles lze kromě jejich povrchu S určit také objem. Pro výpočet objemu kvádru platí vztah


V = a · b · c

Zkusme vypočítat objem u kvádru z předchozího odstavce.

Příklad

Vypočítejte objem kvádru, a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm.

Řešení:
V = a · b · c
V = 6 · 4 · 3
V = 62 cm3

Počítáme objem krychle

Stejným způsobem jako kvádr počítáme objem krychle. Délka všech hran krychle je stejná. Pro objem tohoto tělesa proto platí vztah:


V = a · a · a

Zkusíme vypočítat objem krychle, u které jsme počítali povrch.


Příklad

Délka hrany krychle je 5 cm. Vypočítejte objem krychle.

Řešení:
V = a · a · a
V = 5 · 5 · 5
V = 125 cm3

Pokračování.